About interstellar journey

Как далеко человек сможет полететь в космос? Когда изобретут межзвёздные космические корабли и путешествия к другим планетам станут реальностью? Сколько времени будут занимать такие перелёты? Все эти и многие другие вопросы часто поднимаются фантастами и футуристами. Они ложатся в основу фантастических произведений и сюжетов к фильмам. В этой статье я хотел бы порассуждать на тему потенциала человечества относительно межзвёздных перелётов, а также привести некоторые теоретические выкладки.

Думаю, начать нужно с того, что, хотя, как мы думаем, мы достаточно глубоко проникли в понимание физики элементарных частиц и космологии, мы о Вселенной знаем далеко не всё. Не все законы открыты, не все эксперименты поставлены, не все явления подверглись научному взору. Может быть, случатся какие-то революционные открытия в будущем, которые смогут изменить фундамент современной физики, как это было, например, с появлением квантовой механики или теории относительности. Но пока этого не произошло, мы можем опираться только на то, что у нас есть, если не хотим отклониться в откровенную и заведомо далёкую от реальности фантастику. Также я не хотел бы рассматривать различные идеи о путешествиях, связанные с разного рода телепортациями. Например, у некоторых есть такие идеи, что человека можно превратить в электромагнитный сигнал, излучить его куда-то далеко в космос, а где-то на другой стороне поймать и собрать тело по атомам. Или кто-то говорит о квантовой телепортации. Такого рода идеи кажутся слишком нереалистиными ни с научной, ни с инженерной точки зрения. Зато идейно простым и понятным кажется перелёт внутри космического корабля.

Предположим, что мы хотим отправить в межзвёздное путешествие космический корабль с людьми на борту. Как построить такой корабль, на каком виде энергии он будет основан - на эти вопросы сложно ответить. И, есть даже вероятность, что это вообще может стать непреодолимым препятствием. Но хочется верить, что всё-таки нет. Способ функционирования корабля - это безусловно важный, но отдельный вопрос. Нас же сейчас интересует тот факт, что какой бы мощный источник энергии мы ни нашли, какой бы мощный корабль мы ни построили, мы не можем применить это всё на полную мощность, имея людей на борту. Это связано с тем, что человек не способен выдерживать большие перегрузки в течение длительного времени. Учитывая, что расстояния до ближайших звёзд измеряются световыми годами, то и путешествия будут занимать примерно такое же время. Хотя здесь можно возразить, так как на помощь приходит специальная теория относительности, которая гласит, что с ростом скорости время на борту замедляется. Но такое замедление становится ощутимым только при скоростях, приближающихся в скорости света.

Space ship

Но за какое время можно разогнаться до околосветовой скорости? Исключительно для оценки этого предположим, что наш корабль движется с ускорением g до тех пор, пока не достигнет скорости света. На самом деле такой способ рассмотрения абсурден, так как скорость света недостижима, и каждый следующий километр в секунду при таком движении будет даваться всё труднее (и дольше). Но мы не претендуем на точное значение времени, а лишь хотим понять, сколько приблизительно космонавтам нужно "терпеть" до того момента, когда эффекты теории относительности вступят в силу. Ведь для выхода на орбиту Земли приходится испытывать перегрузки в несколько g в течение всего нескольких минут, но и то это является настоящим испытанием для организма. Далеко не каждый человек способен такое выдержать. Так вот, время, которое потребуется "прождать" до околосветовой скорости, можно оценить по формуле:

$$ t \sim \frac{c}{g} \approx 30 \ млн \ сек \approx 1 \ год $$

Мы получаем, что требуется двигаться около года. Даже если бы мы двигались с ускорением 2g, то потребовалось бы полгода, что недопустимо много для человеческого организма. К сожалению, тела людей созданы из достаточно хрупких тканей, чтобы выдерживать большие ускорения так долго. Поэтому у нас естественным образом появляется ограничение на ускорение космического корабля в 1g. В принципе это даже комфортнее, чем невесомость на орбите, так как внутри такого космического корабля можно чувствовать себя в точности как на Земле: эффект гравитации полностью создаётся линейным ускорением корабля. Очевидно, в межзвёздном путешествии оптимальным планом является разгоняться с ускорением 1g первую половину пути, а потом замедляться с тем же ускорением, чтобы успеть остановиться. Это обеспечит теоретически минимальное время полёта, и быстрее не получится.

Используя специальную теорию относительности, по известному расстоянию до звезды или планеты можно рассчитать время полёта на борту корабля и время, которое пройдёт на Земле. Время на борту корабля будет меньше из-за эффекта замедления времени. Математический вывод соответствующих формул для тех, кому интересно, будет приведён в конце статьи. А сейчас мы посмотрим на таблицу:

Объект Расстояние Собственное время полёта Глобальное время полёта
Альфа Центавра 4.4 св лет 3.7 года 6.1 лет
Сириус 8.6 св лет 4.7 года 10 лет
Фомальгаут 25 св лет 6.6 лет 27 лет
Алголь 93 св года 9.1 лет 95 лет
Полярная звежда 447 св лет 12.2 года 449 лет
Туманность Ориона 1350 св лет 14.4 лет 1352 года
Центр галактики 28 тыс св лет 20.5 лет 28 тыс лет
Магеллановы облака 160 тыс св лет 24 года 160 тыс лет
Туманность Андромеды 2.5 млн св лет 29 лет 2.5 млн лет
* Великий Аттрактор 250 млн св лет 39 лет 250 млн лет
* GRB 090429B 13 млрд св лет 47 лет 13 млрд лет

* расчёты сделаны без учёта расширения Вселенной, из-за которого цифры для дальних объектов на самом деле оказываются сильно другими, вплоть до того, что до некоторых видимых объектов вообще долететь не получится, так как скорость их удаления из-за расширения уже превосходит скорость света. Этот феномен в физике называется горизонтом частиц.

Как мы видим из таблицы, даже до ближайших звёзд потребуется лететь несколько лет. Но для очень далёких объектов очень помогает эффект замедления времени, из-за чего можно теоретически долететь вообще до любого объекта во Вселенной. Например, лететь до туманности Андромеды всего 29 лет, на Земле тем временем пройдёт 2.5 млн лет. Если развернуться, полететь назад, то можно будет увидеть Землю через 5 млн лет. Климат изменится, всех родных и близких уже давно не станет, история человечества уйдёт невообразимо вперёд, конечно, при условии, что оно всё ещё будет существовать к этому моменту. Поэтому, я бы сказал, самыми оптимистичными для человечества кажутся расстояния до 1000 световых лет, что занимало бы до 15 лет на борту корабля в одну сторону.

Числа получились весьма обнадёживающими. Ведь в передах 1000 световых лет немало звёзд. Но нужно понимать, что эти цифры являются лишь теоретическим пределом для полётов, перешагнуть который получится лишь каким-то принципиально иным способом передвижения. С другой стороны, даже само достижение этого предела - непростая задача для будущих поколений.

Galaxy

Все приведённые соображенися и цифры я получил самостоятельно, так как однажды озадачится принципиальной возможностью подоброго рода путешествий. Осознав ограничение в 1g, мне показалось, что вдруг это ускорение слишком маленькое, чтобы даже приблизиться к околосветовым скоростям за разумное время. Но нам повезло с соотношением c/g. Если бы скорость света была в 10 раз больше, летать дальше, чем на 20 световых лет, было уже бы нереально из-за старения. Однако могли бы помочь технологии анабиоза. Хотя чем меньше анабиоз длится, чем он более реалистичен. Заслуживает внимания ещё одно интересное наблюдение. Если бы скорость света была в 100 раз меньше, то эффект замедления времени наступал бы раньше и полёт до Альфы Центавра составил бы всего 2 месяца на борту корабля.

Математические выкладки

Здесь анализируется задача о равноускоренном движении с учётом эффектов теории относительности. Напомню, что мы рассматриваем движение с ускорением a в течение какого-то времени, а затем симметричное замедление с тем же ускорением в течение такого же времени с целью успеть остановиться. Нас интересует, за какое время в глобальной системе отсчёта можно преодолеть заданное расстояние L и сколько времени пройдёт в собственной системе отсчёта (на борту корабля).

Сперва выведем закон равноускоренного движения в теории относительности. Будем обозначать штрихами характеристики собственной системы отсчёта, а без штрихов - глобальной. По определению равноускоренное длижение в теории относительности:

$$ a = \frac{dv'}{dt'} $$

dv' - изменение скорости с сопутствующей системе отсчёта (движущейся со скоростью корабля v на данный момент времени), dt' - временной интервал в собственной системе отсчёта.

По закону сложения скоростей:

$$ v(t' + dt') = \frac{v(t') + dv'}{1 + \frac{v(t') dv'}{c^2}} \approx v(t') + \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) dv' = v(t') + a \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) dt' $$

$$ \frac{dv}{dt'} = a \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) $$

Здесь v - мгновенная скорость в глобальной системе отсчёта, которая зависит от момента времени на борту корабля t'. Обычно в учебниках рассматривают зависимость v(t) - от глобального момента времени. В итоге результат получается такой же, но выкладок несколько больше. Конкретно в этом вычислении удобнее рассматривать именно v(t'). Особо наблюдательные могли уже узнать в дифференциальном уравлении производную гиперболического тангенса. Положив, что в начальный момент времени v(t' = 0) = 0, получаем следующее уравнение движения:

$$ v(t') = c \ th \left( \frac{at'}{c} \right) $$

Для удобство сделаем две замены, связанные с переходом в другие единицы отсчёта:

$$ \tau' = \frac{at'}{c} $$

$$ u = \frac{v}{c} $$

Другими словами, tau' - это время в единицах c/a (если взять a = g, как мы рассматривали в статье, то c/g - это та самая оценка времени разгона до скорости света, которая составляет примерно 1 год, таким образом tau' - это время, взятое в годах), а скорость u - это просто скорость в единицах скорости света (скорость u не может достичь и превысить 1). Таким образом наше уравнение движения выглядит гораздо приятнее:

$$ u(\tau') = th(\tau') $$

Теперь получим формулу для связи собственного времени tau' и глобального времени tau (в глобальной системе отсчёта):

$$ d\tau = \frac{d\tau'}{ \sqrt{1 - u(\tau')^2} } = d\tau' ch(\tau') $$

$$ \tau = \int_{0}^{\tau} d\tau = \int_{0}^{\tau'} \frac{d\tau'}{ \sqrt{1 - u(\tau')^2} } = \int_{0}^{\tau'} d\tau' ch(\tau') = sh(\tau') $$

$$ \tau = sh(\tau') $$

У нас появилась ещё одна простая и красивая зависимость, но теперь уже через гиперболический синус.

Расстояние, пройденное за время tau' при равноускоренном вдижении определяется следующим образом:

$$ l = \int_{0}^{\tau} dt\ v(t) = c \int_{0}^{\tau} \frac{c}{a}\ d\tau\ u(\tau) = \frac{c^2}{a} \int_{0}^{\tau} d\tau'\ ch(\tau')\ th(\tau') = \frac{c^2}{a} \int_{0}^{\tau} d\tau'\ sh(\tau') = \frac{c^2}{a} \left( ch(\tau') - 1 \right) $$

$$ x(\tau') = ch(\tau') - 1 $$

Здесь мы учли, что в нулевой момент времени пройденное расстояние равно нулю (отсюда и -1 в формуле). А также мы сделали трюк с расстоянием аналогичный времени и скорости: мы перешли от настоящего расстояния l к расстоянию x = l / (c^2 / a). Учитывая, что c/g - это 1 год, то c^2/g - это расстояние, пройденное светом за 1 год, то есть это световой год, а значит x - это расстояние, измеряемое световыми годами.

Основные формулы мы получили. Выпишем их ещё раз:

$$ \tau = sh(\tau') $$

$$ x(\tau') = ch(\tau') - 1 $$

Теперь нам нужно вспомнить, что, во-первых, в задаче нам дано расстояние, а глобальное и собственное время нужно вычислять, во-вторых, мы разгоняемся только первую половину пути, а вторую половину мы симметрично замедляемся. Поэтому:

$$ \frac{x \left( \frac{\tau'}{2} \right) }{2} = ch \left( \frac{\tau'}{2} \right) - 1 $$

$$ \tau' = 2\ arch \left( 1 + \frac{x}{2} \right) $$

$$ \tau = 2\ sh \left( \frac{\tau'}{2} \right) $$

Именно по этим формулам делался расчёт в таблице.