Стоит ли брать ипотеку? Вычислена оптимальная сумма ипотечного кредита.

Брать ипотеку или не брать? Такой вопрос затрагивает в наше время почти каждого жителя страны. Никто не поспорит с тем, что ипотека - это важное решение для жизни многих, ведь она затрагивает временной период в годы, а для некоторых и в десятилетия. А денежные суммы, характерные для этого явления, исчисляются миллионами рублей. Поэтому очень важно подойти к этому вопросу максимально ответственно и серьёзно, ведь любая неточность может стоить в буквальном смысле потери миллионов рублей. Надеюсь, моё исследование об ипотеке поможет читателю сделать необходимые выводы, чтобы принять правильные решения.

Вкратце о чём моё исследование.

В больших мегаполисах, коим в частности является Москва, где я живу, существует дилемма: покупать свою квартиру в ипотеку или снимать чужую, копя деньги на свою. Одни заявляют, что, чем платить деньги какому-то дяде, лучше пусть деньги идут банку, зато за свою собственную квартиру. Противники ипотеки утверждают, что банковские проценты настолько грабительские, что не имеет смысла даже в страшном сне соглашаться на такую кредитную авантюру. Я решил заняться этим вопросом с математической точки зрения. И оказалось, что правы обе стороны, но каждый по-своему. На небольшие суммы - до пяти миллионов рублей - выгоднее брать ипотеку, как это ни странно звучит. Но в случае больших сумм - приблизительно от пяти миллионов - оказывается выгоднее снимать. Эти цифры приведены для Москвы и намеренно сильно усреднены, чтобы не грузить читателя. Можно сообразить, что, раз такой расклад, возможно, сначала лучше поснимать, пока не останется какая-то небольшая сумма, которую будет уже оптимальнее взять в ипотеку. И это действительно так. Как я покажу ниже, существует оптимальная стратегия для накопления и ипотеки, отклонившись в любую сторону от которой теряешь много денег. Ниже я приведу на этот счёт определённые размышления и математические выкладки. А также я создал несколько умных калькуляторов, которые считают ипотечные выплаты, оптимальный размер ипотеки и финансовые потери, которые произойдут, если отклониться от оптимального плана.

Снимать квартиру или платить ипотеку?

В этом вопросе на одной чаше весов находятся постоянные выплаты за съёмную квартиру, а на другой - выплаты по процентам за ипотеку. Какая чаша при каких условиях перевешивает? Очевидно, что, идеальная беспроцентная ипотека лучше, так как все выплачиваемые деньги идут на квартиру, никому больше не перепадая, что делает бессмысленным снимать. С другой стороны, очевидно, съём квартиры за 0 рублей в месяц также лучше любой ипотеки, так как позволяет беспроцентно накапливать на квартиру и купить её ровно тогда, когда накопится необходимая сумма. Оба фактора по своей природе непрерывны: снимать можно теоретически за любую сумму, начиная с нуля, проценты по ипотеке также могут быть любыми. И при каком-то соотношении этих цифр выгодно может быть либо одно, либо другое. Так как здесь решающим оказывается количество, то без точных формул и вычислений ответ получить невозможно, качественные соображения здесь бессильны.

Для упрощения вычислений обусловимся, что мы рассматриваем некоторого человека, который готов тратить на съём-накопление-платежи по ипотеке фиксированную сумму каждый месяц (денежный поток). Например, допустим эта сумма равна 50к рублей, которая может быть польностью потрачена на ипотеку, а может быть распределена 30к на съём квартиры и 20к на накопления в зависимости от выбранной стратегии. Будем рассматривать эту сумму фиксированной на протяжение всех накоплений и выплат, игнорируя то, что человека могут уволить с работы или повысить, после чего данный денежный поток может измениться.

Чтобы определить оптимальную стратегию, можно воспользоваться калькулятором:

Калькулятор оптимальности

Ипотечный процент (в месяц!)
Величина месячной аренды
Денежный поток
Стоимость квартиры
Оптимальный кредит
Накопленная сумма
Общая затраченная сумма
Переплата
Период ипотеки (в месяцах)
Период накопления (в месяцах)
Общий период (в месяцах)

Если же вы поспешили и уже следуете другой стратегии, то с помощью этого калькулятора вы можете посчитать ваши убытки (по сравнению с оптимальной стратегией):

Калькулятор убытков

Ипотечный процент (в месяц!)
Величина месячной аренды
Денежный поток
Стоимость квартиры
Величина вашего ипотечного кредита
Оптимальный кредит
Оптимальная накопленная сумма
Оптимальная общая сумма
Опмимальная переплата
Оптимальный ипотечный период (в месяцах)
Оптимальный накопительный период (в месяцах)
Оптимальный общий период (в месяцах)
Ваша накопленная сумма
Ваша общая сумма
Ваша переплата
Ваш кредитный период (в месяцах)
Ваш накопительный период (в месяцах)
Ваш общий период (в месяцах)
Ваш убыток (в деньгах)
Ваш убыток (в месяцах)

Математическое обоснование.

Теперь попробую объяснить всё на числах. Постараюсь, чтобы это было максимально не занудно.

Введём обозначения:

$ F $ - ежемесячный денежный поток, который человек готов тратить или накапливать

$ R $ - ежемесячный платёж за аренду квартиры

$ S_{i} $ - размер ипотечного кредита

$ S_{r} $ - сумма, накопленная при стратегии аренды квартиры

$ \alpha $ - процентная ставка по ипотеке (в месяц, а не в год, как принято везде писать)

$ n $ - период в месяцах

Ипотечный кредит, предоставляемый банками, вычисляется по формуле:

$$ S_{i} = \frac{F}{\alpha} (1 - e^{- \alpha n}) $$

Не пугайтесь того, что формула такая страшная и содержит экспоненту. Банковские аналитики - это высококвалифицированные работники, которые на ты с математикой. Неочевидность и нелинейность этой формулы является интуитивно непонятной для большинства людей. Собственно, потому и сложно адекватно оценить, насколько грабительской оказывается ипотека; отсюда и споры: одни считают ипотеку абсолютным злом, а другие - шансом. Мы же попробуем посмотреть этой формуле в глаза вместо того, чтобы давать оценочные суждения.

Смысл вышеприведённой формулы в том, что, тратя сумму F каждый месяц, можно за n месяцев скопить сумму Si.

Теперь давайте рассмотрим, какую сумму можно накопить, арендуя квартиру на тот же срок и имея ту же сумму F каждый месяц:

$$ S_{r} = (F - R) n $$

Здесь всё намного проще: каждый месяц откладывается сумма (F - R).

Если мы посмотрим на графики Si(n) и Sr(n), то увидим, что на небольшое время выгоднее брать ипотеку, так как взятая в кредит сумма превосходит накопленную. Но на больших временных интервалах картина становится сильно обратной. Отсюда сразу же видна первая ошибка, которую можно допустить: взять большую ипотеку на продолжительное время. Ипотека действительно съедает много денег. Хотя ипотека преподносится как долгосрочный кредит на покупку жилья, оказывается, что она выгодна как раз в краткосрочном периоде.

mortgage diagram

Вышеприведённый анализ носит лишь качественный характер. Мы просто увидели, что в долгосрочном периоде выгоднее снимать, а в краткосрочном - брать ипотеку. Логичным является стратегия: сначала снимать, а потом в определённый оптимальный момент взять ипотеку, чтобы воспользоваться преимуществами обоих подходов. И это действительно возможно. Давайте сформулируем задачу на математическом языке.

С математической точки зрения нас интересует такая стратегия, которая за самое короткое время даёт нам квартиру со всеми выплаченными долгами. Введём ещё пару обозначений:

$ n_{r} $ - период аренды квартиры

$ n_{i} $ - период выплаты ипотеки

Мы хотим определить такую сумму ипотеки Si и период ni, чтобы общий период n был минимален.

$$ n = n_{r} + n_{i} $$

Как видно, общий период оказывается функцией двух переменных nr и ni. Но эти переменные зависимы и могут быть выражены одна через другую, так как между ними есть связь в виде фиксированной стоимости квартиры S. Она слагается из накопленного первого взноса Sr за время аренды nr и ипотечного кредита Si на время ni:

$$ S = S_{r}(n_{r}) + S_{i}(n_{i}) $$

Чтобы найти минимум для n как функции от ni, можно двигаться разными способами. Например: выразить nr из уравнения связи, подставить его в n = nr + ni, взять производную по ni, приравнять её к нулю и разрешить полученное уравнение относительно ni - это и будет оптимальное решение. Но мне больше симпатизирует другой, более красивый подход - метод множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа:

$$ L(n_{r}, n_{i}, \lambda) = n(n_{r}, n_{i}) - \lambda (S_{r}(n_{r}) + S_{i}(n_{i}) - S) = n_{r} + n_{i} - \lambda ((F - R) n_{r} + \frac{F}{\alpha} (1 - e^{- \alpha n_{i}}) - S) $$

Здесь переменные nr и ni входят на равных правах. Приравниваем к нулю частные производные:

$$ \frac{dL}{d n_{r}} = 1 - \lambda (F - R) = 0 $$ $$ \frac{dL}{d n_{i}} = 1 - \lambda F e^{- \alpha n_{i}} = 0 $$

Отсюда сразу следует:

$$ \frac{F - R}{F} = e^{- \alpha n_{i}} $$

$$ n_{i} = - \frac{1}{\alpha} ln(1 - \frac{R}{F}) $$

Это и есть оптимальное значение ni. Формула получилась сложная, незапоминающаяся и невозможная для интуитивного анализа. Но здесь спасает другое: можно это условие оптимальности переписать для Si:

$$ S_{i} = \frac{R}{\alpha} $$

Из этого результата следует, что для суммы ипотечного кредита необходимо располагать только значениями процентной ставки и месячных расходов за аренду. Эта сумма не зависит от того, сколько вы готовы платить по ипотеке и сколько стоит квартира, которую вы хотите купить; это является неожиданностью.

Давайте рассмотрим частный пример. Допустим, месячная процентная ставка по ипотеке равна 1% и расходы на аренду - 30 тыс. рублей в месяц. Тогда оптимальная сумма ипотечного кредита равна 3 млн. рублей. Допустим, вы хотите кутить квартиру за 8 млн. Тогда вам сначала придётся накопить 5 млн, а оставшиеся 3 взять в ипотеку, независимо от того, сколько вы зарабатываете и сколько времени займут ваши выплаты и ожидания. Отклонение от этой стратегии в любую сторону чревато потерей больших денег (вы можете воспользоваться калькулятором выше, который это посчитает). Следует заметить, что, даже если вы покупаете кватиру за 30 млн по этой схеме, но всё равно вам нужно сначала накопить 27 млн, а оставшиеся 3 взять в банке в ипотеку.

Вот такие дела. Берегите свои финансы.